初一数学第一单元知识点归纳

整式的乘除

知识一：同底数幂的乘法

1.法则:a^m·aⁿ=a^m+n(m,n都是正整数)

(1)底数a可代单项式,也可代表多项式；

(2)运用该法则时,底数必须相同。

2.推广:a^m·aⁿ·a^p·…·a^q=a^m+n+p+…+q(m,n,p,…,q均为正整数)

3.逆用:a^m+n=a^m·^a(m,n都是正整数)

例 若a^3m=8,a²ⁿ=16,则a^3m+2n=       。

[解析]因为a^3m=8,a²ⁿ=16,所以a^3m+2n=a^3m·a²ⁿ=8×16=128.

4.拓展：

知识二:幂的乘方

1.法则:(a^m)ⁿ=a^mn(m,n都是正整数)底数不变,指数相乘

2.推广:[(a^m)ⁿ]^p=a^mnp(m,n,p都是正整数)

3.逆用:a^mn=(a^m)ⁿ=(aⁿ)^m(m,n都是正整数)

知识三:积的乘方

1.法则:(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n为正整数)底数分别乘方.即:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘

2.推广:这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方也适用,如(abc)ⁿ=aⁿbⁿcⁿ(n是正整数)

若所给的幂底数可化为同一个数的幂的形式，可逆用幂的乘方化为同底数幂，根据指数的大小确定所给幂的大小关系,如8²⁰=64¹⁰,4³⁰=64¹⁰,因此8²⁰=4³⁰.

3.利用幂的运算法则比较大小：

所给幂的指数、底数均不相同,且指数较大时,可利用幂的乘方的性质化为同指数的幂,根据底数的大小关系确定所给幂的大小关系。

知识四：整式的乘法

1.单项式与单项式相乘

(1)法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

(2)步骤:

2.单项式与多项式相乘

(1)法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律。

(2)字母表示:m(a+b-c)=ma+mb+m(-c)=ma+mb-mc

(3)注意事项:

①多项式与单项式相乘后仍是多项式,积的项数与多项式的项数相同.

②在计算时,不要丢掉多项式中各项前面的符号.

例 已知xy²=-6,求-xy(x³y⁷-3x²y⁵-5y)的值

[分析]由于乘法运算后,所求式中各项的x的指数总是y的指数的一半,故可用幂的运算实现整体代入.

[解]-xy(x³y⁷-3x²y⁵-5y)=-x⁴y⁸+3x³y⁶+5xy²

=-(xy²)⁴+3(xy²)³+5(xy²)

当xy²=-6时

原式=-(-6)⁴+3×(-6)³+5×(-6)=-1974

3.多项式与多项式相乘

(1)法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加

(2)字母表示:(a+b)(m-n)=am+a(-n)+bm+b(-n)=am-an+bm-bm

(3)注意事项:

①多项式与多项式相乘,结果仍是多项式

②在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式项数之积,最后的计算结果中不能含有同类项

③把多项式与多项式相乘所得的积合并同类项后,如果结果中不含某项,那么该项的系数为0

知识五：整式的除法

1.同底数幂的除法

(1)法则:a^m÷aⁿ=a^m-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)

即:同底数幂相除,底数不变,指数相减

(2)推广:a^m÷aⁿ÷a^p=a^m-n-p(a≠0,m,n,p都是正整数,并且m>n+p)

(3)逆用:a^m-n=a^m÷aⁿ(a≠0,m,m都是正整数,并且m>n)

2.零指数幂的意义

a⁰=1(a≠0),即:任何不等于0的数的0次幂都等于1.

3.单项式除法法则

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

4.多项式除以单项式法则

(1)法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

(2)字母表示:(am+bm-cm)÷m=am÷m+bm÷m+(-cm)÷m

=a+b+(-c)=a+b-c

(3)注意事项:

①多项式除以单项式,应清楚多项式的每一项的符号,相除时要带着符号与单项式相除.

②注意运算顺序,有括号的先算括号里面的.

乘法公式

知识一:平方差公式

1.平方差公式

(1)代数表达:(a+b)(a-b)=a²-b²;相同为a，相反为b.

(2)文字表述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

(3)重要提示:公式中的字母a和b可以是数,也可以是式子(包括单项式、多项式等).

(4)变形公式:(b+a)(-b+a)=a²-b²;(-a+b)(-a-b)=(-a)²-b²;

(-a-b)(a-b)=(-b)²-a²;

2.平方差公式的特点

(1)等号的左边是两个二项式相乘,且有两项相同,另外两项互为相反数;

(2)等号的右边是相同项的平方减去互为相反数项的平方

例:计算:(1)(-0.1-a)(a-0.1);(2)98×102.

[解](1)(-0.1-a)(a-0.1)=(-0.1-a)(0.1+a)=(-0.1)²-a²=0.01-a²;

(2)98×102=(100-2)×(100+2)=100²-2²=10000-4=9996.

知识二：完全平方公式

1.完全平方公式

(1)代数表达:(a+b)²=a²+2ab+b²;(a-b)²=a²-2ab+b²

(2)文字表述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍

(3)变形公式:①a²+b²=(a+b)²-2ab;②a²+b²=(a-b)²+2ab;

③2ab=(a+b)²-(a²+b²);④2ab=(a²+b²)-(a-b)²;

⑤(a+b)²=(a-b)²+4ab;⑥(a-b)²=(a+b)²-4ab;

2.完全平方公式的特点

(1)等号的左边是一个二项式的完全平方的形式;

(2)等号的右边是一个二次三项式,其中有两项是平方的形式,另一项是写成平方项的两项底数乘积的2倍或—2倍.

知识3添括号法则

(1)代数表达:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c)

(2)文字表述:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号、例 计算:(2a+b-2)(2a-b-2)

[分析]由于两个括号中含有相同的项和互为相反数的项,故可应用平方差公式计算把2a-2看作一项,b看作另一项

[解](2a+b-2)(2a-b-2)=[(2a-2)+b][(2a-2)-b]=(2a-2)²-b²

=4a²-8a+4-b².

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